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五年级数学下册应试辅导资料:图形与几何

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 五年级数学下册应试辅导资料:图形与几何


第一部分  图形与几何
一、观察物体
1、从不同的位置(或同一位置)观察物体,看到的形状可能相同也可能不同;从同一位置观察长方体或正方体时不能看到所有的面,最多只能看到三个面,最少看到一个面。
2、正面、侧面(左面,右面)、后面都是相对的,它是随着观察角度的变化而变化。通过观察、想象、猜测,培养空间想象力和思维能力,能正确辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。
3、观察物体,从实物观察到对立体图形的观察有一个体验、认识、提高的过程,多观察物体,多画观察到的图形,自己制作立体图形,有意识的训练想象能力,逐渐就会观察立体图形了。
4、观察物体,先要确定观察的位置(方向)(常选择上面、正面、左侧面、右侧面),再确定观察的形状,并把它画下来,在平面图形画上斜线。
5、根据各个位置看到的平面图形推算共有几个小正方体方法:从正面看数层数,从下往上数;从上面看数列数,从左往右数;从左面看数排数,前排在右后排在左,从右往左数。
6、至少用8个正方体可拼成较大的正方体,27个64个125个。。。都可拼成较大正方体。
二、图形的运动
图形变换的基本方式是对称、平移和旋转。
对称点是关于一条直线对称的点 (对称点一般用于轴对称),对应点是一个图形经变换后的图形与变换前的图形位置相同的点(对应点一般用于平移和旋转)
(一)图形的平移
1、平移不改变图形的大小和形状。
2、平移的三要素:原图形的位置、平移的方向、平移的距离。平移的方向一般为:水平方向、垂直方向两种。平移的距离:一般为几个单位长度(也即几个方格)
3、平移是整个图形的移动,图形的每个关键点都需要按要求移动。
4、把图形平移的步骤:
(1)确定原图形位置、平移的方向、平移的距离。
(2)找出原图形的各关键点。
(3)根据题目要求将各个点依次平移。
(4)顺次连接平移后的各点,标明各点名称。
(二)轴对称: 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
(1)学过的轴对称平面图形有:圆形、长方形、正方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形……
等腰三角形有1条对称轴,等边三角形有3条对称轴,长方形有2条对称轴,正方形有4条对称轴,等腰梯形有1条对称轴,圆有无数条对称轴。任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。
(2)对称点到对称轴的距离相等。
(3)轴对称图形的特征和性质:对称点到对称轴的距离相等;对称点的连线与对称轴垂直;对称轴两边的图形大小、形状完全相同,方向相反。
(4)对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。平行四边形(除棱形)属于中心对称图形。
2、旋转:物体或图形围绕一个定点沿着一个方向转动一定的角度的现象叫做旋转。如风扇的叶片旋转。定点O叫做旋转中心,旋转的角度叫做旋转角,原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
(1)生活中的旋转:电风扇、车轮、纸风车
(2)旋转三要素:旋转中心,固定不变;旋转方向有顺时针、逆时针;旋转角度有:常见的有30°、45°、60°90°、180°、270°。
(3)长方形绕中心点旋转180度与原来重合,正方形绕中心点旋转90度与原来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
(4)旋转的性质:
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动;其中对应点到旋转中心的距离相等;旋转前后图形的大小和形状没有改变,位置和方向发生改变,旋转中心是唯一不动的点,两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角度相等,都等于旋转角;
(5)怎样画图形旋转的形状:(1)先观察原图形的形状特征找准关键点,(2)找准旋转中心、旋转方向、旋转角度 ;
(3)使用直角三角板的顶点与旋转中心重合,则该图形旋转后的形状就在三角板另一条边上;
(4)确定各对应点的长度,用虚线标出来;(5)将每个对应点连接并标出名称。
三 、 长方体和正方体         
1、由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。(长宽高是相对而言的,随观察角度而定)
长方体特点:
(1)长方体有6个面,8个顶点,12条棱,相对的面完全相同,相对的面面积相等,相对的棱长度相等。
(2)一个长方体最多有6个面是长方形,最少有4个面是长方形,最多有2个面是正方形。
2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体(也叫做立方体)。
正方体特点:(1)正方体有12条棱,它们的长度都相等。(2)正方体有6个面,每个面都是正方形,每个面的面积都相等。(3)正方体可以看做长、宽、高都相等的长方体,它是一种特殊的长方体。
长方体与正方体的异同:
 
相同点 不同点
  面 棱
长方体 都有6个面,
12条棱,
8个顶点。 6个面都是长方形。
(有可能有两个相对的面是正方形)。 相对的棱的长度都相等
正方体  6个面都是正方形。 12条棱都相等。
【知识点4】
经过折叠可以组合成长方体:

经过折叠可以组合成正方体:
3、长方体、正方体有关棱长计算公式:
长方体的棱长总和=(长 宽 高)×4=长×4 宽×4 高×4     L=(a+b+h)×4  
长=棱长总和÷4-宽-高   a=L÷4-b-h
宽=棱长总和÷4-长-高   b=L÷4-a-h
高=棱长总和÷4-长-宽   h=L÷4-a-b

正方体的棱长总和=棱长×12      L=a×12      
正方体的棱长=棱长总和÷12      a=L÷12

4、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2     S=2(ab+ah+bh)
无底(或无盖)长方体表面积= 长×宽+(长×高+宽×高)×2  
S=2(ab+ah+bh)-ab   或  S=2ah+2bh+ab
无底又无盖长方体表面积=(长×高+宽×高)×2    S=2(ah+bh)【贴墙纸】
正方体的表面积=棱长×棱长×6    S=a×a×6      用字母表示: S= 6a2
【生活实际】油箱、罐头盒等都是6个面,游泳池、鱼缸等都只有5个面水管、烟囱等都只有4个面。
【注意】用刀分开物体时,每分一次增加两个面。(表面积相应增加)
【注意】长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,表面积会扩大倍数的平方倍。
(如长、宽、高各扩大2倍,表面积就会扩大到原来的4倍)。
5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高    V=abh         
长=体积÷宽÷高     a=V÷b÷h 
宽=体积÷长÷高     b=V÷a÷h            
高=体积÷长÷宽     h= V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长   
 V=a×a×a = a3读作“a的立方”表示3个a相乘,(即a•a•a)
长方体或正方体底面的面积叫做底面积(占地面积)。
长方体(或正方体)的体积=底面积×高    用字母表示:V=S h
(换个角度看,横截面积相当于底面积,长相当于高)。
【注意】一个长方体和一个正方体的棱长总和相等,但体积不一定相等。
6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做他们的容积。
计量容积一般就用体积单位。计量液体的体积,如水、油等,常用容积单位升和毫升,也可以写成L和mL。
   1升=1立方分米     1毫升=1立方厘米     1升=1000毫升
   (1 L = 1 dm3       1 mL = 1 cm3          1 L= 1000mL)
长方体或正方体容器容积的计算方法,跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。(所以,对于同一个物体,体积大于容积。)
【注意】长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,体积就会扩大倍数的立方倍。
(如长、宽、高各扩大2倍,体积就会扩大到原来的8倍)。
 *形状不规则的物体可以用排水法求体积,形状规则的物体可以用公式直接求体积。


排水法的公式:V物体 =V现在-V原来
也可以        V物体 =S×(h现在- h原来)
                 V物体 = S×h升高
【注意】1、1 cm2、1 cm3它们是三个不同的计量单位,所以不能进行比较。

8、【体积单位换算】   大单位              小单位
小单位               大单位
进率: 1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米    (立方相邻单位进率1000)
         1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升
  1立方厘米=1毫升
   1平方米=100平方分米=10000平方厘米
   1平方千米=100公顷=1000000平方米
【注意】长方体与正方体关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体(或正方体)后,表面积增加了,体积不变。
质量单位进率,时间单位进率,长度单位进率

【单位换算】         大单位              小单位
小单位               大单位

长度单位:1千米 =1000 米  1 分米=10 厘米   1厘米=10毫米  1分米=100毫米
          1米=10分米=100厘米=1000毫米            (相邻单位进率10)

面积单位:1平方千米=100公顷          1平方米=100平方分米
          1平方分米=100平方厘米    1公顷=10000平方米  (平方相邻单位进率100)
质量单位:1吨=1000千克       1千克=1000克 
人 民 币:1元=10角    1角=10分     1元=100分
时 分 秒:1天=24时    1时=60分     1分=60秒
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