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初三数学几何定理的运用

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教师在教途上并不是一帆风顺的,尤其在农村中学,有时由于教学上的需要,往往到了初三,也会出现面对陌生学生的情况。笔者今年就遇到了尴尬:几何证明题学生会证的,却不会书写或书写不完整;知道步骤的原因和结论,但讲不出定理的内容;更多的学生面对几何题在证明时凭感觉。面对着时间紧、任务重,怎么办呢?经过一番苦思冥想,针对学生基础差、底子薄,决定狠抓“定理教学”。通过一段时间的复习,学生普遍反映在证题和书写时有了“依靠”,也发现了定理的价值,基本树立了“用定理”的意识。

那么,学生在证题时到底是由哪些原因造成思维受阻,产生解题的困惑呢?我们把它归纳为以下几点:

⑴不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道完整的几何证明题的过程进行分解,发现它的骨干是由一个一个定理组成的。而学生书写的不完整、不严密,就因为缺乏对定理必要的理解,不会用符号语言表达,从而不能严谨推理,造成几何定理无法具体运用到习题中去。

⑵找不到运用定理所需的条件,或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形和定理之间的联系,思考时把定理和图形分割开来。对于定理或图形的变式不理解,图形稍作改变(或不是标准形),学生就难以思考。

⑶推理过程因果关系模糊不清。

针对以上的原因,我们在教学中采取了一些自救对策。

一、教学环节

对几何定理的教学,我们在集中讲授时分5个环节。第1、2 环节是理解定理的基本要求;第3 环节是基本推理模式,第4 环节是定理在推理过程中的呈现方式,提出了“模式+定理”的书写方法;第5 环节是定理在解题分析时的导向作用,提出了“图形+定理”的思考方法。程序图设计如下:

基本要求 → 重新建立表象 →推理模式 → 组合定理 → 联想定理

二、操作分析和说明

⒈ 定理的基本要求

我们认为,能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写,因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤,让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求,并重新整理了初中阶段的定理(见附页,此只列出与本文有关的定理),集中展示给学生。

例如定理43:直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划:就是找出定理的题设和结论,题设用直线,结论用波浪线,要求在划时突出定理的本质部分。

:“直角三角形”和“高线”、“相似”。

二画:就是依据定理的内容,能画出所对应的基本图形。

:

三写:就是在分清题设和结论的基础上,能用符号语言表达 ,允许采用等同条件。

:∵△ABC是Rt△,CD⊥AB于D(条件也可写成:∠ACB=90°,∠CDB=90°等) ∴△ACD∽△BCD∽△ABC 。

学生在书写时果然出现了一些问题:

①不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件(如定理19漏掉垂直,定理46漏掉高、中线等);对条件太简单的不会写(如定理3);或者把条件当成结论(如定理12把三线都当成结论)。

②还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理,而有些学生把定理重新证明一遍(如定理5、6);或者在一个定理中出现 ∵××,又∵××,∴××的错误。

③更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件(如定理7出现 ∵∠1 和∠2是同位角,∴AB∥CD);条件重复(如定理49,结论∠APO=∠BPO已经包括过圆心O,学生在条件中还加以说明);图形过于特殊(如把定理1的图画成射影定理的基本图形);文字过多(一些定理译不出符号语言,用文字代替)等。

⒉ 重新建立表象

从具体到抽象,由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象,具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形,这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上,而是让学生有意识的记图形,想图形,以形成和唤起表象。我们认为,这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。

教给学生想形象的基本方法后,我们接下去的步骤是用实例引导学生,下面是一段经整理后的课堂教学主要内容:

⑴ 问:听了老师的介绍后,你怎样回忆垂径定理的形象?

:垂径定理我在想的时候,脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的,以后看到弧相等或其他两个条件之一,脑子里就会浮现出垂径定理。

目的:建立单个定理的表象,要求能想到非标准图形。

继续问:看到弧相等,你们只想到了垂径定理,其他的定理就没有想起来吗?

:想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……

甚至有学生想到了两条平行弦……

目的:通过表象,进行联想,使学生理解定理间的联系。

⑵ 问:从定理21开始,你能找出和它有联系的定理吗?

:有定理22(擦短使平行直线变成线段),定理25(特殊化成菱形),定理27……

目的:一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化,加深定理间的联系。

⑶下面的步骤,我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中,通过比较、分析、判断,进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看,他们主要是在寻找基本图形,由于定理之间有一定的联系,在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形,所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段,也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。

下面摘录的是学生自主思考后,得到的富有创意性的结论。

①定理16(延长中线成矩形)→ 定理24(作矩形的外接圆)→ 定理34。

②定理51(一线过圆心,且两线垂直)→ 定理36(一线平移成切线)→ 定理47、48(绕切点旋转)→ 定理50。

③如下图,把 EF 向下平移(或绕A点旋转),使定理37和50联系起来(有同结论 ∠α=∠D):

⒊ 推理模式

从学生各方面的反馈情况看,多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定,往往听课时知道该如何写,而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢?为此,我们在二步推理的基础上,经过归纳整理,总结了三种基本推理模式。

具体教学分三个步骤实施:

⑴精心设计三个简单的例题,让学生归纳出三种基本推理模式。

① 条件 → 结论 → 新结论 (结论推新结论式)

② 新结论 (多个结论推新结论式)

③ 新结论 (结论和条件推新结论式)

⑵通过已详细书写证明过程 的题目让学生识别不同的推理模式。

⑶通过具体习题,学生有意识、有预见性地练习书写。

这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架,在具体书写时有一定的模式,有效地克服了学生书写的盲目性。但教学表明学生仍然出现不必要的跳步,这是什么原因呢?我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要,又设计了以下一个环节。

⒋ 组合定理

基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节,我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式,然后由几个定理组合后构造图形,进一步强化学生“用定理”的意识。

下面通过一例来说明这一步骤的实施。

1:已知如图,四边形ABCD外接⊙O的半径为5,对角线 AC 与 BD 相交于E,且 AB = AE·AC,BD= 8。求△BAD的面积。(2001年嘉兴市质量评估卷六)

证明:连结OB,连结OA交BD于F。

学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理:

比例基本性质 → S/AS/ 证相似 →相似三角形性质 →垂径定理 →勾股定理 →三角形面积公式

由于学生自己主动找定理,因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的,也让学生体会到把定理(不排除概念、公式等)镶嵌在基本模式中,就能形成严密的推理过程。此时,可顺势布置以下的任务:给出勾股定理,你能再结合一个或多个定理,构造图形,并编出证明题或计算题吗?

实践表明:经过“模式+定理”书写方法的熏陶后,学生基本具备了完整书写的意识。

⒌ 联想定理

分析图形是证明的基础,几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式,通过作辅助线构造出定理的基本图形,为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想(这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一),但对于识图或想象力较差的学生来说,就比较困难,他们往往存有疑问:到底怎样才能分解出基本图形呢?在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢?因而我们从另一侧面,即证明题的“已知、求证”上给学生以支招,即由命题的题设、结论联想某些定理,以配合图形想象。

:如图,⊙O1和⊙O2相交于B、C两点,AB是⊙O1 的直径,AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E,过B作⊙O1的切线交AE于F。求证:BF∥DE。

讨论此题时,启发学生由题设中的“AB是⊙O的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”,因而连结BC;“过B作⊙O的切线交AE于F”联想定理“切线的性质”,得出∠ABF=90°。从而构造出基本图形②③。

由命题的结论“BF∥DE”联想起“同位角相等,两直线平行”定理,构造出基本图形④。将上述基本图形②③④ 的性质结合在一起,学生就易于思考了。

这一环节我们的引导语有:“由已知中的哪一个条件,你能联想起什么定理?”、“条件组合后能构成哪个定理?”、“有无对应的基本图形?”、“能否构造出基本图形?”等。目的是让学生树立起“图形+定理”的思考方法,把以前的无意识思考变成有目的、有意识的思考。

三、几点认识

复习的效果最终要体现在学生身上,只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径,因此在复习时,我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中,充分调动学生学习的主动性和积极性:提出问题让学生想,设计问题让学生做,方法和规律让学生体会,创造性的解答共同完善。

“没有反思,学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”(弗赖登塔尔)。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法,所以我们在教学时总留出足够的时间来让学生进行反思,使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。

集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识,但如果不加以巩固,也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性原则,在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。

参考资料:

① 高三数学第二轮复习的理论和实践 孟祥东等 《中学数学教与学》2001、3

② 全国初中数学教育第十届年会论文集 P380 、P470

附录:初中数学几何定理集锦(摘录)

1。同角(或等角)的余角相等。

3。对顶角相等。

5。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

6。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

7。同位角相等,两直线平行。

12。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。

16。直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。

19。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。

21。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。

22。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

24。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

25。菱形性质:四条边相等、对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。

27。正方形的四个角都是直角,四条边相等。两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

34。在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等,那么它们所对应的其余各对量都相等。

36。垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对弧。平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

43。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

46。相似三角形对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

37.圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角。

47。切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

48。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。 ②圆的切线垂直于经过切点的半径。 ③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

49。切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线,平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

50。弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

51。相交弦定理 ; 切割线定理 ; 割线定理

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