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人教版高中数学必修一:《互为反函数的函数图象间的关系》精品说课稿

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高中必修一《互为反函数的函数图象间的关系》说课稿

 

各位评委、老师大家好:

     我说课的题目是《互为反函数的函数图像间的关系》,内容选自高中数学第一册第节。

一、教材理解:

老教材对这一关系的处理给出了严密的证明,而新教材对这节课内容的处理是通过画一个特殊的函数图像得出一般结论的。这样处理虽然可以是学生得出并记住这个结论,但学生对这个结论的理解并不深刻,同时也不利于培养学生严密的数学思维。我认为通过对互为反函数的函数图像间的关系的深入研究,不仅有利于培养学生的创造性思维,更重要的是可以使学生学会处理函数图像间对称问题的基本思路和方法。因此,我对这节课的处理是在不增加教材难度的情况下做了一些变动。通过上课,我认为收到了很好的效果。

二、学情分析:

黑龙江省实验中学是省重点高中,所授课班级是学校理科试验班,学生的基础较好,探究能力较强。因此在这节课的教学中,对原函数和反函数图像的这一对称关系作了较深入的研究。

根据上述教材结构与内容的分析,考虑到学生已有的知识结构及心理特征,制定如下三维教学目标:

、知识与技能:()了解互为反函数的函数图像间的关系,并能利用这一关系,由已知函数的图像作出反函数的图像。()通过由特殊到一般的归纳,培养学生探索问题的能力。

、过程与方法:由特殊事例出发,由教师引导,学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系,使学生探索知识的形成过程,本可采用自主探索,引导发现,直观演示等教学方法,同时渗透数形结合思想。

、情感态度价值观:通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美,激发学生的学习兴趣。

根据教学目标,应有一个让学生参与实践——发现规律——总结特点——归纳结论的探索认知过程。特确定本节课的教学重点:互为反函数的函数图像间的关系。难点:如何探究图像间的对称关系。

为了突出重点,突破难点,我采用了如下教学方法和教学手段:

教学方法:启发探究与学生自主探究相结合

教学手段:计算机辅助教学

并设计了如下五个教学环节:

创设情境,引入新课     提出问题,探究问题     习题精炼,深化概念

  总结反思,纳入系统      布置作业,承上启下。

下面就谈谈个环节的实施计划。

第一环节:创设情境,引入新课

首先复习提问反函数的概念,在这里直接提出问题,目的是学生思维聚焦,以旧带新。

第二环节:提出问题,探究问题

这一环节是本节课的重点和难点,因此我在这一环节的处理是让学生自主探索,发现规律,体验知识的形成过程。具体设计如下:

首先,请学生画出的图像,并求出反函数。然后提出问题:在原函数定义域内任给一个,都有唯一的与之对应。即点(,)在原函数图像上,那么哪一点在反函数图像上呢?对于这个问题,有了上节课的学习,学生不难得出(,)在原函数图像上,则(,)在反函数图像上。

为了让学生深刻理解互为反函数的函数图像间的关系,就必须先理解点(,)与(,)两点间的对称关系。因此,教学中要紧紧围绕点(,)在原函数图像上,则点(,)在反函数图像上这一性质。演示点(,)与点(,)的对调过程,增强学生的感性认识。

 

 

 

本课的重点是原函数与反函数的图像间的关系。要使学生深刻理解这一关系,就必须弄清点(,)与点(,)之间的对称关系。因此趁热打铁,深入研究,直接提出图中矩形与矩形有什么关系?四边形是什么图形?⊿是什么图形?点,点有什么关系?学生从图中容易发现,两个矩形全等,四边形为正方形。所以,直线为正方形的对角线,所以也是⊿的顶角平分线,所以垂直平分线段,所以点和点关于对称。对于这个问题的设计,一方面重在帮助学生理解(,)与(,)为什么关于对称,突出重点难点,为下一步作铺垫;另一方面通过数形结合,也培养了学生直观感知,观察发现的能力。同时在学习过程中通过学生自己动脑、动眼、动手得出结论,使学生体验获得成功的喜悦。这一问题解决之后,进一步追问,(,)再换一个位置,还有这样的结论吗?(这里用动画演示,使学生更加直观地感知(,)与(,)的对应关系。)

在解决完以上问题以后,进一步提出,若不求反函数,你能画出的反函数图像吗?怎么画?由前面的分析,学生很容易想到只要找出点的两个位置,便可以画出反函数图像。此时进一步追问上题中原函数与反函数的图像有什么关系?有了前面任意点的研究,学生很容易得出关于对称。

以上是一个特殊的函数,图像为直线,若对一个一般的函数图像,你能根据上题的原理,画出反函数的图像吗?如图是的图像,请你猜想并画出它的反函数的图像。

 

 

学生画完图像后,教师用动画演示,使学生进一步理解研究图像间的对称关系,应从图像上任一点开始研究。若我们把原函数换成也会有同样结论。在解决以上问题后,可以说水到渠成,请同学谈一谈通过刚才两个特殊函数的探究,有什么收获?

结论收获:函数的图像与图像关于对称。

更重要的是方法收获:研究函数图像间关系应从图像上任一点开始研究。这是研究函数图像间对称关系的基本方法和思路。这也为以后进一步研究函数图像间的对称关系作好了铺垫。

第三环节:习题精炼,深化概念

为了更好地体现本节课的思想和结论,首先给出了

练习一、画出下列函数的反函数的图像
()()

在解决这个问题过程中,鼓励学生大胆猜想、实践,激发他们的主动性和创造性。同时,使学生尝试把从实际问题中总结出来的原理,再去解决实际问题。这样处理有利于培养学生理论来源于实践又应用于实践的思想,让学生体验数学知识的发现和创造过程。

在解决完以上问题以后,教师引导学生观察刚才我们所画的四组图像中原函数与反函数的单调性有什么联系?

 

结论:设()定义域为,值域为,若()()为单调函数,则也为单调函数,且单调性相同。

对于这个结论首先引导学生从图中观察其原理,然后让学生动手进行证明。

在解决以上问题后给出练习二

练习二、、已知()在上是单调增函数,且值域为,解不等式

、,则

此练习目的是深化学生对这一结论的理解和认识。

为了更好的突出本科思想和解决函数图像间对称问题的方法,给出了练习三

练习三、判断下列各组函数图像间的关系

()()   

()()      

()()

 

在教学中,把这些问题完全交给学生,让他们讲解,让他们互相评价,最大限度地给学生表现自己的机会,充分调动学生积极性,展示思维过程,暴露出存在问题,在活跃课堂同时,也激活学生思维,让他们学并快乐着,尽情享受数学的乐趣和魅力。

第四环节:总结反思,纳入系统

内容总结:、函数的图像与图像关于对称。

、设()定义域为,值域为,若()()为单调函数,则也为单调函数,且单调性相同。

方法总结:研究函数图像间关系应从图像上任一点开始研究。

思想总结:由特殊到一般的思想,数形结合的思想。

本小结有学生总结。目的是深化学生对基础概念的理解和基本原理的理解,同时也培养了学生宏观掌握知识的能力。

第五环节:布置作业,承上启下。

、必作题:教材课后、题。

、选作题:若函数()对定义域内任意都满足:

()()(),()图像关于对称。

()()(),()图像关于对称。

()()(),()图像关于对称。

()()(),()图像关于对称。

()()(),()图像关于对称。

 

 

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