五年级数学下册应试辅导资料:数与代数

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五年级数学下册应试辅导资料:数与代数

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w.5 Y k J.COm  五年级数学下册应试辅导资料:数与代数

第二部分数与代数
一、因数和倍数
1、整除:被除数、除数和商都是自然数,并且没有余数。
   整数与自然数的关系:整数包括自然数和负数。
2、因数、倍数:大数能被小数整除时,大数是小数的倍数,小数是大数的因数。
例:12是6的倍数,6是12的因数。
(1)数a能被b整除,那么a就是b的倍数,b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的,不能单独存在。
(2)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
        一个数的因数的求法:成对地按顺序找。
(3)一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身。
        一个数的倍数的求法:依次乘以自然数。一个数的最小倍数和最大因数是它本身。
(4)2、3、5的倍数特征
1) 个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。
2)一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
3)个位上是0或5的数,是5的倍数。
4)能同时被2、3、5整除(也就是2、3、5的倍数)的最小两位数是30,最大的两位数是90,最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数,实际是求2×3×5=30的倍数。
5)如果一个数同时是2和5的倍数,那它的个位上的数字一定是0。
3、完全数:除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。
如:6的因数有:1、2、3(6除外),刚好1 2 3=6,所以6是完全数,小的完全数有6、28。
4:自然数按能不能被2整除来分:分为奇数、偶数。
   奇数:不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数:能被2整除的数叫偶数(0也是偶数),也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1,最小的偶数是0.
关系: 奇数 、- 偶数=奇数     奇数 、- 奇数=偶数    偶数 、-偶数=偶数。
5、自然数按因数的个数来分:质数、合数、1、0四类.
   质数(或素数):只有1和它本身两个因数。
合数:除了1和它本身还有别的因数(至少有三个因数:1、它本身、别的因数)。
1: 只有1个因数。“1”既不是质数,也不是合数。
0:
   最小的质数是2,最小的合数是4,连续的两个质数是2、3。
   每个合数都可以由几个质数相乘得到,质数相乘一定得合数。
   20以内的质数:有8个(2、3、5、7、11、13、17、19)
100以内的质数有25个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
   100以内找质数、合数的技巧:
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数,是的就是合数,不是的就是质数。
关系:奇数×奇数=奇数      质数×质数=合数
6、最大、最小
A的最小因数是1;A的最大因数是A;A的最小倍数是A;最小的奇数是1;最小的偶数是0;最小的质数是2;最小的自然数是0;最小的合数是4;
7、分解质因数:把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
   用短除法分解质因数(一个合数写成几个质数相乘的形式)。
比如:30分解质因数是:(30=2×3×5)
8、互质数:公因数只有1的两个数,叫做互质数。
两个质数的互质数:5和7;两个合数的互质数:8和9;一质一合的互质数:7和8;
两数互质的特殊情况:1和任何自然数互质;相邻两个自然数互质; 两个质数一定互质;2和所有奇数互质;  质数与比它小的合数互质;
9、公因数、最大公因数
    几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数  (除到互质为止,把所有的除数连乘起来)
几个数的公因数只有1,就说这几个数互质。
如果两数是倍数关系时,那么较小的数就是它们的最大公因数。
如果两数互质时,那么1就是它们的最大公因数。
10、公倍数、最小公倍数
    几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数(除到互质为止,把所有的除数和商连乘起来)
用短除法求三个数的最小公倍数(除到两两互质为止,把所有的除数和商连乘起来)
如果两数是倍数关系时,那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时,那么它们的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公倍数是最小公倍数的倍数。
11、求最大公因数和最小公倍数方法
用12和16来举例
1、 求法一:(列举求同法)
最大公因数的求法:
12的因数有:1、12、2、6、3、4
16的因数有:1、16、2、8、4
最大公因数是4
最小公倍数的求法:
12的倍数有:12、24、36、48、…
16的倍数有:16、32、48、…
最小公倍数是48
2、求法二:(分解质因数法)
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是:2×2=4      (相同乘一次)
最小公倍数是:2×2  × 3×2×2= 48 (相同乘一次× 不同分别乘)
3、求法三:短除法
用短除法求下列各组数的最大公因数。12和18    34和102  12、24和36
想:用短除法求两个数的最大公因数,一般用这两个数除以它们的公因数,一直除到所得的两个商只有公因数1为止,再把所有的除数连乘起来,所得积就是这两个数的最大公因数。最小公倍数就是所有公因数连乘再乘最后的商。
 
二、 分数的意义和性质

1、分数的意义:一个物体、一个计量单位或一些物体等都可以看作一个整体。一个个整体平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。
2、单位“1”:一个整体可以用自然数1来表示,通常把它叫做单位“1”。
 3、分数单位:把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数叫做分数单位。如 的分数单位是。最大的分数单位是 ,没有最小的分数单位。
4、分数与除法
被除数÷除数= ,用字母表示A÷B= (B≠0,除数不能为0,分母也不能够为0)例如: 4÷5=
5、真分数和假分数、带分数
   1、真分数:分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
   2、假分数:分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数1
   3、带分数:带分数由整数和真分数组成的分数。带分数>1.
4、真分数<1≤假分数        真分数<1<带分数
6、假分数与整数、带分数的互化
(1)假分数化为整数或带分数,用分子÷分母,商作为整数,余数作为分子, 如:
 =10÷5=2     =21÷5=4
(2)整数化为假分数,用整数乘分母得分子 如:
2=     2×4=8 (8作分子)
(3)带分数化为假分数,用整数乘分母加分子,得数就是假分数的分子,分母不变,如:
5 =      5×5 1=26
(4)1等于任何分子和分母相同的分数。如:1= = = = =…= =…
【注意】分数未带单位表示两个量之间的倍数关系;分数带有单位表示一个具体的数量。
7、分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
8、最简分数:分数的分子和分母只有公因数1,像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含其他的质因数,就能够化成有限小数。反之则不可以。
9、约分:把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分。
如: =
10、通分:把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数,叫做通分。如:
  和   可以化成和
11、分数和小数的互化
(1)小数化为分数:数小数位数。一位小数,分母是10;两位小数,分母是100…… 
如:0.3=   0.03=   0.003=
(2)分数化为小数:
方法一:把分数化为分母是10、100、1000……如: =0.3    = =0.6     = =0.25
方法二:用分子÷分母 ,除不尽的按要求取近似数。如: =3÷4=0.75
(3)带分数化为小数:
先把整数后的分数化为小数,再加上整数 。如:2 =2 0.3=2.3
12、比分数的大小:    分母相同,分子大的大,分子小的小;
分子相同,分母小的大,分母大的小。
分数比较大小的一般方法:同分子比较;通分后比较;化成小数比较。
13、分数化简包括两步:一是约分;二是把假分数化成整数或带分数。
 =0.5       =0.25      =0.75     =0.2     =0.4      =0.6     =0.8
 =0.125     =0.375     =0.625    =0.875     =0.05      =0.04。
14、两个数互质的特殊判断方法:
1和任何大于1的自然数互质。 2和任何奇数都是互质数。
相邻的两个自然数是互质数。 相邻的两个奇数互质。
不相同的两个质数互质。当一个数是合数,另一个数是质数时(除了合数是质数的倍数情况下),一般情况下这两个数也都是互质数。
15、求最大公因数的方法:
   倍数关系:  最大公因数就是较小数。 互质关系:  最大公因数就是1
   一般关系:  从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。
三、  分数的加法和减法
具体解释如下:
(一)同分母分数加、减法
1、同分母分数加、减法:同分母分数相加、减,分母不变,只把分子相加减。2、计算的结果,能约分的要约成最简分数。
(二)异分母分数加、减法
1、分母不同,也就是分数单位不同,不能直接相加、减。
2、异分母分数的加减法:
异分母分数相加、减,要先通分,再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
3、带分数加减法: 带分数相加减,整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的结果合并起来。

(三)分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中,如果有括号,应先算括号里面的,再算括号外面的;如果只含有同一级运算,应从左到右依次计算。
2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
a b=b a  a b c=a (b c)
3、减法的性质:a-b-c=a-(b c)  a-(b-c)=a-b c= a c –b(等式左右可以交换的)
4、 、   、    、   、……
 、   、  、   、……
5、常见乘法计算(敏感数字):25×4=100     125×8=1000
加法交换律简算例子  加法结合律简算例子   乘法交换律简算例子  乘法结合律简算例子
 0.875 23 18            23 14 0.8           0.4×33×52          23×0.375×163
=78 23 18             =23 14 45            =25 ×33×52         =23×38 ×163
=78 18 23             =23 (14 45 )         =25 ×25 ×33        =23 ×(38 ×163 )
=1 23  = 123           =23 1 = 123          =1×3 =3            =23×2=46
含加法交换律与结合律  含乘法交换律与结合律    数字换减法式     数字换加法式
 0.875 23 18 13         0.375×297 ×163 ×729        35×536             101×910
=78 23 18 13           =38 ×297 ×163 ×729         = (36-1) ×536       = (100 1) ×910
=78 18 23 13          =38 ×163 ×297 ×729         =36×536 -1×536     =100×910 1×910
= (78 18 ) (23 13 )      = (38 ×163 )×(297 ×729 )     =5-536             =1 910
=1 1                  =2×1                            
乘法分配律提取式   乘法分配律提取式   乘法分配律(添项)    乘法分配律(添项)       
101×0.9-910 ×1      95.5÷1.6-15.5÷1.6    101×0.9-910        52×58 29×58 -0.625      
=101×910 -910 ×1    =(95.5-15.5)÷1.6     =101×910 -910       =52×58 29×58 -58         
=101×910 -1×910     =80÷1.6             =101×910 -1×910    =52×58 29×58 -1×58      
=(101-1) ×910       =800÷16            =(101-1) ×910       =(52 29-1)×58           
=100×910                               =100×910           =80×58                 
减法的性质简算例子  减法的性质简算例子  减法的性质简算例子    数字换乘法式
18-58 -0.375          134 -716 -0.75          1225 -(716 0.4)      0.56×125
=18-58 -38            =134 -716 -34           =1225 -(716 25 )      =0.7×0.8×125
=18-(58 38 )         =134 -34 -716           =1225 -25 -716         =0.7×(0.8×125)
=18-1 =17           =1-716  =          =12-716 =11        =0.7×100=70
除法的性质简算例子  除法的性质简算例子  除法的性质简算例子    数字换乘法式
3200÷2.5÷0.4      2700÷2.5÷2.7       5900÷(2.5×5.9)       33333×33333
=3200÷(2.5×0.4)   =2700÷2.7÷2.5      =5900÷5.9÷2.5       =11111×3×33333
=3200÷1          =1000÷2.5           =1000÷2.5           =11111×99999
同级运算中,第一个数不能动,后面的数可以带着符号搬家       =11111×(100000-1)
123 716 -23        250÷0.8×0.4          123 -716 13        29×0.25÷0.29
=123 -23 716       =250×0.4÷0.8       =123 13 -716       =29÷0.29×0.25
=1 716  =1 716    =100÷0.8 =125       =2-716  = 1      =100×0.25 =25
6、解方程
解方程方法一:运用四则运算各部分之间的关系来解方程
加数 加数=和、和— 一个加数=另一个加数 、被减数—减数=差、被减数=差 减数 、减数=被减数—差
因数×因数=积、一个因数=积÷另一个因数被除数÷除数=商、除数=被除数÷商、被除数=商×除数
解方程方法二:消项(如果消+3,方程两边就同时-3 ;如果消×3,方程两边就同时÷3)
1:把方程里的“括号”全部去掉,两种去括号的方法任选其一  
2:如果两边都有 几  , 要先消去其中一边的几  
(如果有“-几 ”,就把“-几 ”消去,如果没有“-几 ”,就把较小的 消去掉)
3:消去 “-几 ”,  消去“÷ ” 
4:把 这边的数字全部消掉,先消“ -”    再消“÷”    最后消“×”
(注意:无论解到哪一步,数字 几   都要写成  几数字)  
解方程方法三:移项(+3移到另一边就变成-3,×3移到另一边就变成÷3) 
1:把方程里的“括号”全部去掉,两种去括号的方法任选其一 
2:如果两边都有 几  ,就把其中一边的 几  移到另一边
(如果有“-几 ”,就把“-几 ”移到另一边。如果没有“-几 ”,就把较小的 移到另一边)
3:把“-几 ”移到另一边,把 “÷ ”移到另一边”
4:把 这边的数字全部移到另一边,先移“ -”    再移“÷”    最后移“×”
(注意:无论解到哪一步,数字 几   都要写成  几 数字)文 章来源
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