《等差数列》教学设计

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《等差数列》教学设计

文 章
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《等差数列》教学设计

一、教学目标:
教学目标:
知识与技能目标:
(1)知识目标:
理解并掌握等差数列的定义,能用定义判断一个数列是否为等差数列;
了解等差数列的通项公式的推导过程及思想,并能用通项公式解决一些简单的实际问题.
(2)过程与方法目标:
会判断一个数列是等差数列,会用等差数列通项公式,由an ,a1,n,d的三个量求另外一个量.
经历等差数列的探究过程,发展学生观察分析、归纳总结能力,及知识、方法的迁移能力.
(2)情感与态度目标:
通过对等差数列定义的研究,养成学生细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯;
通过对等差数列通项公式的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求知精神.
二、教学的重点、难点
重点:1.等差数列的概念的理解与掌握.
2.等差数列的通项公式的推导及应用.
难点:1.理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;
      2.从方程的观点看通项公式并解决一些简单的实际问题.
三、课型:新授课
四、 教具学具准备:多媒体、课件.
五、教学方法:启发发现法、诱导思维法、类比分析法、分组讨论法、讲练结合法.
六、教学过程:  
(一)创设情境 引入课题(约2分钟)
    通过上节课学习内容,引入本节课.前面我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法—通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映了数列的特点,本节课我们来研究一
个特殊的数列.
幻灯片展示两则小故事,引导阅读两则小故事,激发学生学习的兴趣, 引入新课.
1.小芳觉得自己英语成绩很棒,她目前的单词量多达3000 她打算从今天起不再背单词了,结果不知不觉地每天忘掉5个单词,那么从今天开始,她的单词量逐日递减,依次为:3000,2995,2990,2985,…
(问:多少天后她那3000个单词全部忘光?)
2.小明觉得自己英语成绩很差,目前他的单词量只yes,no,you,me,he5个单词, 他决定从今天起每天背记10个单词,那么从今天开始,他的单词量逐日增加,依次为:5,15,25,35,…
(问:多少天后他的单词量达到3000?)
学生仔细观察,认真思考.
(板书课题)
(教学设想:创设问题情境,引起学生学习兴趣,激发他们的求知欲,培养学生由特殊到
一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学,同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题,解决数学问题,使数学生活化,生活数学化.)
(二)、新课探究,推导公式
1.等差数列的概念.(约10分钟)
引导学生观察下面几组列数,并分析它们的共同特点,归纳出等差数列的定义.
观察下面几组列数,并分析它们的共同特点:
38,40,42,44,46,48,50,52,54,56.
10500, 10000, 9500, 9000, 8500,8000,7500.
2,2,2,2,2,2,2 , 2……
 
学生积极思考,找出上述数列的共同特点.师生共同归纳出等差数列的定义.
定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
数学语言:an-an-1=d   (d是常数,n≥2,n∈N*)
师生共同分析等差数列的定义,对等差数列进一步的理解,培养学生的观察归纳能力.
强调定义的理解:
第二项起;
每一项与它的前一项的差,不能颠倒;
“同一个常数”,可以是整数,也可以是0和负数;
求公差d时,可以用d=an–an-1 ,也可以用d=an+1–an;
d =an–an-1或d=an+1–an是证明或判断等差数列的依据;
公差d∈R,当d=0时,数列为常数列,d>0时,数列为递增数列,d<0时,数列为递减数列.
练习:判断下列各组数列中哪些是等差数列,哪些不是?如果是,写出首项a1和公差d.
(1)3,0,-3,-6,-9;
(2)
(3)lg1,lg2,lg4,lg8,lg16;
(4)
(5)
 
(6) –1,1,-1,1,–1,1.
(教学设想:通过练习,加深对概念的理解)
2.等差数列的通项公式:(约8分钟)
方法一:不完全归纳法                    
如果等差数列{an}首项是a1,公差是d,那么根据等差数列的定义可得:
 即:
 即:
 即:  
……
[提出问题]: 如果等差数列{an}首项是a1,公差是d,那么这个等差数列的通项公式如何表示?
由此可得:
验证:当n=1时,上式两边均等于a1,即等式也成立这表明当n∈N*时上式都成立,因而它就
是等差数列{an}的通项公式.
[教师此时指出]: 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法,这种导出公式的方法不够严密,学习后续有关知识后我们可对这个公式进行严格的证明].
在这里向大家介绍另外一种求数列通项公式的办法-叠加法:
方法二:叠加法
 
将这(n-1)个等式左右两边分别相加,则可得:
an-a1=(n-1)d  an=a1+(n-1)d
验证:当n=1时,上式两边均等于a1,即等式也成立这表明当n∈N*时上式都成立,因而
它就是等差数列{an}的通项公式.
由此得到等差数列的通项式
an=a1+(n-1)d
an第n项  a1首项   n项数  d公差
强调理解:
已知a1与d,可以求得数列中的任一项,也可以检验某数是否为该数列中的一项;
在an,a1,n,d这四个变量中,知道其中三个量就可以求余下的一个量,即知三求一.
(三)应用例解: (约15分钟)
例1.(1)求等差数列8,5,2,……的第20项.
    (2)-401是不是等差数列-5,-9,-13……的项?如果是,是第几项?
(1) 分析:由给出的等差数列前三项,先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式,就可以求出第20项 a20, 强调当数列{an}的项数n已知时,下标应是确切的数字.
解:由题意得,a1=8,d=-3
∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49
(2) 分析:实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少,可向学生着重点出本问题的实质:要判断-401是不是数列的项,关键是求出数列的通项公式an,判断是否存在正整数n,使得an =-401成立.
解:由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401
an=a1+(n-1)d
-401=-5+(n-1)×(-4)
∴n=100
∴-401是这个数列的第100项.
例2.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
分析:等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系.当其中的部分量已知时,可根据该公式求出另一部分量.
解:由题意,
           即
解之得 a1=-2   d=3.
思考: 已知数列中任意两项,可求出首项和公差,主要是联立二元一次方程组.现在能求出任一项吗? 比如能求出a25吗?
解:由上面所解得:
 
若不求首项只求公差,能求出a25吗?这种题型有简便方法吗?
通项公式的推广公式:
思考:已知等差数列{an}中,am,d是常数,如何任一项an的值.试求an的值.
解:设等差数列{an}的首项是a1,依题意可得:
              
- 得:an-am=a1+(n–1)d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d
∴an=am +(n-m)d
由此得到通项公式的推广公式:an=am +(n-m)d
注意本公式当m≠n有一个变式:
强调理解:已知等差数列的任意两项,可以确定数列的任意一项.
例3.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,求a12和a3n.
分析:已知等差数列中的a3和a9,可以先利用公式求出公差d,再用公式求出a12和a3n.
解:由公式得:
 
 (四).练习反馈 强化目标 (约8分钟)
P113练习 第1题和第2题.
(要求学生在规定时间内做完上述题目,教师提问,教学设想:对学生进行基本技能训练,培养学生的计算速度和计算能力.)
(五)归纳小结 提炼精华 (约2分钟)
本节课我们主要学习了:
1.等差数列的概念及数学表达式:an-an-1=d(n≥2),要会由定义判定一个数列是否等差数列.
2.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n∈N*),能灵活应用通项公式(应用方程的思想,会知三求一).
 3.还要注意对一个重要的推广公式an=am+(n-m)d的理解与应用.
(六)课后作业 运用巩固.
(1)课本P114习题3.2 第1,2,3题.
(2)预习课本P112-113.
预习提纲:1. 例三,例四,如何由等差数列的定义及通项公式解决实际问题;
      2.什么是数列的等差中项,它有哪些性质?
      3.如何从函数观点来理解数列的通项公式?
板书设计:
§3.2等差数列
1、定义
2、数学表达式
 
3、等差数列的通项公式
4、推广公式
 
例1(略)
例2(略)
例3(略)
 
 
 
 
本节课的重点是等差数列的定义及其通项公式与应用,因此把强调的问题放在较醒目的位置,突出了重点,同时还给学生留有作题的地方,整个板面看上去自然、清晰、美观,还能充分表现出精讲多练的教学方法.
 

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