数学核心素养中的抽象思维培养

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数学核心素养中的抽象思维培养

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数学核心素养中的抽象思维培养


数学作为一种强大的工具,在17和18世纪推动了以机械运动为主的科学技术革命。后来又推动了以发电机,发动机和电器通信为主的技术革命。近代无论电子计算机,原子能技术,空间技术,分子生物学,数理经济学等分支所要的数学工具尤为深奥和抽象。集合论的观点与公理化的方法论在20世纪逐渐成为数学抽象化的范式,数学发展到了更为抽象的道路。


抽象,是指在认识过程中,舍弃事物个别的、非本质的属性,抽取出本质属性的过程和方法.数学抽象性的特征有:数学的研究对象本身就是抽象的;在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他;数学抽象是一步一步逐步提高的,所达到的抽象程度大大超过其他学科;核心数学主要处理抽象概念和他们的相互关系。通过观察、分析,撇开事物表象的、外部的、偶然的东西,抽出事物本质的、内在的、必然的东西,从空间形式和数量关系上揭示客观对象的本质和规律的一种数学研究方法.著名数学家欧拉在解决“哥尼斯堡七桥”问题时,撇开岛区、陆地的其他属性,将它们抽象成四个点,把七座桥抽象成七条线,于是,一次无重复地走过七座桥的问题转化为不重复地一笔画成图形的问题.欧拉这一成功的实践采用的就是数学抽象的方法。
数学抽象具体表现在以下几个方面:形成数学概念与规则;形成数学命题与模型和形成数学方法与思想等。
(一)数学概念是数学知识的基础,是数学思维的基本形式.概念的获得有两种基本方式———概念的形成与概念的同化。概念的形成是指从一些具体例证出发,抽取一类事物的共同属性,从而形成概念。概念同化是指用定义的方式直接揭示概念,学生利用已有认知结构中的有关知识理解新概念.可见,概念的形成过程就是对概念进行数学抽象、概括的过程。联系概念的现实原理引入新概念,观察实物,模型,图形等,让学生感性认识基础上建立概念,在平面几何的教学中,可以让学生观察一组平行线,再利用相交线做比较,然后概括定义。在圆的教学中,让学生动手用绳子固定一端,另一端栓一支笔,拉紧绳子画出图形,然后归纳定义。另外借助符号与类比得到更高层次的抽象. 也是引入概念的重要方法,如:类比一元一次方程得到一元一次不等式,二元一次方程,一元二次方程,一次函数等概念。
(二)在应用题教学中,通过归纳提炼,教学生抽象数学模型“数学建模”是新课标提出的六大数学素养之一,应用题是建模的主要载体,也是很多学生的“拦路虎”。而建立模型的过程,就是一个数学抽象的过程。教师要让学生亲历探索、建模的过程,教学生抽象数学模型和问题的本质。在数学建模核心的形成过成中,积累用数学解决实际问题的经验。学生能够在实际情景中发现和提出问题,能够针对问题建立数学模型,能够用数学知识求解模型,并尝试基于现实背景验证模型额完善模型,能够提升应用能力和创新能力符合当今的核心素养的形成。
初中数学常见的数学模型是与函数最值相关问题,最大利润,用料最省,列出解析式解函数最大值。也是一大难点。另外方程(组)模型,概率与统计模型。
下面举一个例子:
 
甲、乙两地之间有一条笔直的公路L,小明从甲地出发沿公路L步行前往乙地,同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地,小亮到达甲地停留一段时间,原路原速返回,追上小明后两人一起步行到乙地.设小明与甲地的距离为y1米,小亮与甲地的距离为y2米,小明与小亮之间的距离为s米,小明行走的时间为x分钟.y1、y2与x之间的函数图象,s与x之间的函数图象
(1)求小亮从乙地到甲地过程中y2(米)与x(分钟)之间的函数关系式;
(2)求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s(米)与x(分钟)之间的函数关系式;
解这道题:
(1)设函数关系式为y1=kx+b,得,y1=﹣200x+2000;
(2)由题意,得小明的速度为:2000÷40=50米/分,小亮的速度为:2000÷10=200米/分,∴小亮从甲地追上小明的时间为24×50÷(200﹣50)=8分钟,∴24分钟时两人的距离为:S=24×50=1200,32分钟时S=0,设S与x之间的函数关系式为:S=kx+b,S=﹣150x+4800;
(3)由题意,得a=2000÷(200+50)=8分钟,当x=24时,S=1200当x=32时,S=0.故描出相应的点就可以补全图象略。可以看到如果教师在处理例题的时候多方位的运用数学方法把模型建立起来对学生解决问题的能力是大有提高的
 
    数学建模中有划归的思想方法,还有方程的思想,数形结合的思想。初中学生在老师的引导下要掌握的消元法,待定系数法,配方法。只有在教学中全方位的渗透,才有可能本质上让学生理解建模思想达到培养核心素养的目的。数学抽象,可以把表面复杂的东西变得简单,把表面混沌的东西变得清晰,把表面无关的东西变得统一。数学抽象的意义,归纳一下有四点:1.数学研究对象通过符号形式进行推理和运算,给数学理论的表述和论证带来极大的方便,它是数学发展和人们认识数学的重要方法;2.通过抽象,让学生亲身经历新知建立的观察、分析、抽象、概括的全过程,有益于他们学习科学研究的一般方法,有益于培养学生的认知力和抽象能力;3.引导学生透过现象抽象问题的本质,实际是教学生学会学习、学会思考,这对于改变某些地区学生依赖教师、被动学习有积极的意义;4.数学抽象也是解决数学问题的基本方法.正是数学的高度抽象性,使得数学具有广泛的应用性,可以提炼数学概念,概括数学模型,使学生在数学解题时有意识地区分问题的主次,抓住事物的本质.操作上,其一,不论是概念教学还是应用题、习题教学,要预留一点时间,把抽象的机会让给学生;其二,在新授课教学中,教师要精心创设问题情境,引导学生通过观察、分析、抽象,提炼数学概念,归纳数学结论、抽象数学模型;在复习课或习题课教学中,教师要进行有效的变式训练,使学生更好地把握问题的本质和规律;其三,要遵循循序渐进的原则,起点低,由易到难,发现并肯定学生的闪光处,不断给予学生成功的机会.培养学生数学抽象能力是一个长期的过程,在课堂上有意识加强训练,润物细无声,只要坚持下去,就能科学素养的培养落到实处。

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