浅谈导数在高中数学中的应用

作者:佚名 资料来源:网络 点击数:

浅谈导数在高中数学中的应用

文章
来源 莲山课
件 w w w.5 Y K
j.Co M

浅谈导数在高中数学中的应用

 

【关键词】高中数学中的导数;应用
  导数是高中数学新教材中新增内容之一,它的引入给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力,也为中学数学解决问题注入了新的途径和方法。导数是高等数学的内容,是对函数图像和性质的总结和拓展,是研究函数单调性、极值、最值的重要工具。利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。由此可见,它在高中教学中起着非常重要的作用。本文从几个方面出发,谈一谈导数的应用。
  1. 几何方面的应用 在导数概念的基础上,结合函数图像来研究导数的几何意义是导数概念的延伸,是导数知识的重要内容。导数是微积分中的重要基础概念,当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续,不连续的函数一定不可导。
  在解析几何中,我们求曲线的切线,只需要知道曲线的方程y=f(x)和曲线上的任意一点,利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程。
  下面给出求曲线的切线方程的方法步骤:
  (1)求导数,得到曲线在该点的切线的斜率;(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,利用点斜式求出切线方程:y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
  例1. 试求曲线y=xlnx上点(1,2)的切线方程
  解: 对函数f(x)=xlnx
  求导得f'(x)=lnx+1
  所以f'(1)=ln1+1=1,所以在点(1,2)的切线方程为
  y-2=1(x-1)
  即 y=x+1
  切线方程: y=x+1
  先求出函数y=f(x)在x=x0处的导数,即曲线在该点处的切线斜率,再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。
  例2. 求垂直于直线2x-6y+1=0并且和曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程。
  解 因为所求的直线与已知直线2x-6y+1=0垂直
  所以所求直线的斜率 k1=-3
  又因为所求直线与y=x3+3x2-5相切,
  所以它的斜率 k2=y'=3x2+6x
  因为k1=k2 即 3x2+6x=-3
  所以(x+1)2=0 即 x=-1
  代入曲线方程得 y=(-1)3+3(-1) 2-5=-3
  所以切点为 (-1,-3)
  故所求直线方程为y+3=-3(x+1)即3x+y+6=0 。
  2. 在函数方面的应用 运用导数知识研究函数性质的试题,研究对象已经突破了单纯的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等命题常以复合的函数形式出现。
  2.1 函数单调性的讨论。(1)利用导数的符号判断函数的单调性。函数的单调性是函数最基本的性质之一,是研究函数所要掌握的最基本的知识。通常用定义来判断,但当函数表达式较复杂时判断f(x1)-f(x2)正负较困难。运用导数知识来讨论函数单调性时,只需求出f'(x) ,再考虑f'(x)的正负即可。此方法简单快捷而且适用面广。
  利用导数的符号判断函数的增减性,这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用,它充分体现了数形结合的思想。
  一般地,在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0 ,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)<0 ,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减。
  如果在某个区间内恒有f'(x)=0 ,则f'(x)是常函数。
  注意:在某个区间内, f'(x)>0 是f'(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。
  (2)求函数y=f(x)单调区间的步骤。
  ①确定y=f(x)的定义域;
  ②求导数解f'(x)=0 此方程,求出它们在定义域区间内的一切实数根。
  ③当f'(x)>0时, y=f(x)在相应区间上是增函数;当f'(x)<0时, y=f(x)在相应区间上是减函数。
  例3. 判定函数y1=x3-x和y2=x3+x在(-∞,+∞)上的增减性。
  解: y'1=3x2-1=3(x+13)(x-13)
  当y'1>0 得 x<-13或x>13
  当y'1<0 得 -13  所以y1=x3-x在(-∞,-13)和(13,+∞)内单调递增,在(-13,13)内单调递减。
  因为y'2=3x2+1>0 , 故y2=x3+x在(-∞,+∞)上单调递增。
  2.2 函数的极值的求法。
  例4.求函数f(x)=13x3-4x+4的极值。
  解:因为 f(x)=13x3-4x+4,所以f'(x)=x2-4=(x-2)(x+2) 。
  令f'(x)=0 ,解得x=2或x=-2 。
  下面分两种情况讨论:
  (1)当f'(x)>0 ,即x >2或x <-2时;
  (2)当f'(x)<0 ,即-2   当x变化时,f'(x) ,f(x) 的变化情况如下表:
  因此,当x=-2 时, f(x)有极大值,并且极大值为f(-2)=283 ;
  当x=2 时, f(x)有极小值,并且极小值为f(2)= -43。
  点评:求可导函数的极值的步骤可归纳为:
  (1)求导数f'(x) ;   (2)求方程f'(x)=0 的根;
  (3)检查f'(x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x) 在这个点处取得极大值;如果左负右正,那么f(x) 在这个点出取得极小值。
  2.3 函数的最值求法。极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质。在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心函数在某个区间上,哪个值最大,哪个值最小。当然函数在某个区间上一定是连续的不断的曲线,它必有最大值和最小值。
  例5. 求函数y=cos2x+cosx+1 的极值和最值。
  解: y'=-2cosxsinx-sinx ,
  令y'=0 得 sinx(2cosx+1)=0
  解得sinx=0或cosx=- 12, 由sinx=0 可得:
  cosx=1或cosx=-1 ,因此,
  当cosx=- 12 时,得y极小 = 34;
  当 cosx=1时, 得 y极大=3;
  当cosx=-1 时,得y极大=1 。
  则ymax =3, ymin= 34
  最值问题是高中数学的一个重点,也是一个难点。它涉及到了高中数学知识的各个方面,要解决这类问题往往需要各种技能,并且需要选择合理的解题途径。用导数解决这类问题可以使解题过程简化,步骤清晰,学生也好掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系,极值是一个局部性概念,最值是某个区间的整体性概念。
  一般地,求函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
  (1)求 f(x)在(a,b) 内的极值;
  (2)将 f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,从而得出函数f(x) 在[a,b] 上的最值。
  3. 利用导数解决实际优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题,也称为最值问题。解决这些问题具有非常现实的意义。这些问题通常可以转化为数学中的函数问题,进而转化为求函数的最大(小)值问题。
  例6.有甲、乙两城,甲城位于一直线形河岸,乙城离岸40千米,乙城到岸的垂足与甲城相距50千米,两城在此河边合建一水厂取水,从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元,问水厂应设在河边的何处,才能使水管费用最省?
  解:设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米,所需水管总费用为y元,
  则y=500(50-x)+700 x2+402=25000-500x+700 x2+1600,
  y'=-500+700x12(x2+1600)-122x=-500+700x x2+1600,令 y'=0,解得 x=50 63
  当x∈[0,50 63) 时,y'<0 ;当x∈[50 63,50) 时,y'>0 ,所以当 x=50 63时, y'取得极小值,也是最小值。
  答:水厂建在距甲距离为50-50 63 千米时,所需水管费用最省。
  解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把得主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题。再化归为常规问题,选择合适的数学方法解题。
  “生活中的优化问题举例”实际上是求实际问题的最大(小)值,其主要步骤如下:
  (1)列出实际问题的数学模型,写出实际问题中的变量之间的函数关y=f(x)系 ;
  (2)求函数的导函数f'(x) ,解方程f'(x)=0 ;(3)比较函数在区间端点和使f'(x)=0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值。
  导数在高中数学中只能介绍一些简单的应用。对于高中学生,这一部分内容不能挖掘太深,因为导数的引入,本质上就是将初等数学中一些高难度、繁杂的问题简化。但也要求学生对该部分内容要掌握其实质,弄清楚与其他各章节内容的联系。从解决上述三个方面的应用中可以看到,导数在应对复杂的数学问题时,感觉有入手易,过程简便的优势,它的最终目的还是考查函数的性质。所以我们不仅要掌握导数的概念,求导的公式和求导的法则及其简单应用,包括求函数的极值、单调区间。证明函数的增减性等,还要学会把导数与其它知识相结合,去寻找求一些复杂问题的简单解法。

文章
来源 莲山课
件 w w w.5 Y K
j.Co M