《利用导数研究函数的零点或方程的根》教学设计

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《利用导数研究函数的零点或方程的根》教学设计

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《利用导数研究函数的零点或方程的根》教学设计

教学目标

利用导数研究函数的零点或方程的根.

教学重点

利用导数研究函数的零点或方程的根.

教学难点

学生如何利用导数与函数的单调性确定函数零点个数或者求方程的根以及参数问题。

教学过程

一、导入

    上节课我们研究了“利用导数研究生活中的优化问题”,导数与函数的综合问题还体现在哪些方面呢?我们今天一起来从另一个角度——利用导数研究函数的零点或方程的根体会一下。

二、新课讲授:

1、证明或者判定零点的个数:

例1:(2015·广东高考节选)设a>1,函数

(1)求f(x)的单调区间;

(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.

 (1) 解:f(x)的定义域为R,由导数公式知

 


∵对任意,都有,

∴f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.

(2)证明:由(1)知f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,

且.

∵a>1,∴a-1>0,

∴,∴,

∴,故,

∴存在使得.

又∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,

∴f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.

2、解决参数的取值范围

例2:(2016·贵州七校联考)函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然对数的底数,

a∈R.

(1)当a>0时,解不等式f(x)≤0;

(2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在[t,t+1]上有解.

解:(1)因为ex>0,所以不等式f(x)≤0即为ax2+x≤0,又因为a>0,所以不等式可化为,所以不等式f(x)≤0的解集为.

(2)当a=0时,方程即为xex=x+2,

由于ex>0,所以x=0不是方程的解,

所以原方程等价于ex-x(2)-1=0.

令h(x)=ex-x(2)-1,

因为h′(x)=ex+x2(2)>0对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,

所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调递增函数,

又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e-3-3(1)<0,h(-2)=e-2>0,

所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,

且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,

所以整数t的所有值为{-3,1}.

[由题悟法]利用导数研究方程根的方法

研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图像的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

三、即时应用

1、若函数若f(x)存在唯一的零点,且>0,则a的取值范围是(     )

A. (-∞,-2)        B. (1,+∞)             C. (2,+∞)        D.  (-∞,-1)  

2、(2016·贵阳监测改编)已知函数.

(1)当a=-1时,求函数f(x)的极值;

(2)若函数没有零点,求实数a的取值范围.

 

四、课堂小结

对于研究方程根的个数或者是函数零点的相关问题,通常是利用导数和数形结合的思想来求解.这类问题求解的通法是:①构造函数,这是解决此类问题的关键点和难点,并求其定义域;②求导数,得单调区间和极值点;③画出函数草图;④数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图像与轴的焦点进而求解.

 

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